Эйбрамс окончил Коламбия-колледж и Школу права Нью-Йоркского университета. В 1966-69 гг. он был депутатом Ассамблеи штата Нью-Йорк. В 1969 г. был впервые избран президентом Бронкса, затем легко переизбирался в 1973 и 1977 годах. В 1978 г. Эйбрамс оставил этот пост, т.к. был избран генеральным прокурором штата. В дальнейшем он трижды переизбирался на должность генпрокурора - 1982, 1986 и 1990 годах.

В 1992 г. Эйбрамс выиграл праймериз и стал кандидатом от Демократической партии на пост сенатора США, но проиграл (совсем немного) действующему сенатору, республиканцу Альфонсу Д'Амато. Он был делегатом Национального конвента Демократической партии в 1972, 1976, 1980 и 1984 годах, причём на первом из них он был сопредседателем нью-йоркской делегации. В 1980-м он руководил президентской кампанией сенатора Эдварда Кеннеди в Нью-Йорке.

На всех выборных постах Эйбрамс проявил себя защиником прав потребителей, борцом против загрязнения окружающей среды, дискриминации, жульничества и т.п. В 1970-х Р. Эйбрамс активно участвовал в кампании поддержки советских евреев. Он подтвердил свою высокую квалификацию юриста, когда в 1988 г. губернатор М. Куомо назначил его специальным следователем по громкому делу Таваны Броули - негритянки, якобы изнасилованной несколькими белыми. Большое жюри под руководством Эйбрамса признало всю историю выдуманной.

В 1993 г. Эйбрамс подал в отставку с поста генерального прокурора штата, после чего занял должность партнёра в известной юридической фирме Stroock & Stroock & Lavan, но продолжал проявлять активность в гражданских делах города и штата. В 2005г. он участвовал в работе Городской чартерной ревизионной комиссии. В 2008 г. был включён в управляющий совет Корпорации развития Объединённых Наций. В 2012 г. был сопредседателем комиссии штата, расследовавшей последствия урагана Сэнди.

Роберт Эйбрамс - член Американского еврейского конгресса, Сионистской организации Америки, организации Бнай-Брит. Одно время был президентом Национальной ассоциации генеральных прокуроров.
 

Имя Роберт происходит от германского имени Хродеберт, что означает "яркая слава". Фамилия Эйбрамс происходит от библейского имени Авраам.

Вне Нью-Йорка

В 2009 г. Дворец юстиции в Олбани, столице штата Нью-Йорк, был переименован в Robert Abrams Building for Law and Justice, в ознаменование заслуг Эйбрамса перед населением штата.