Джош вырос в Питтсбурге в семье преподавателей Университета Карнеги - Меллона, придерживавшихся реконструктивистского иудаизма. Его отец - автор ряда трудов по инженерной термодинамике; мать была социологом, её родители эмигрировали в Монреаль из Литвы. В 1982 г. Джош получил степень бакалавра по экономике в Оберлинском колледже и поступил на экономическое отделение Еврейского университета в Иерусалиме, но вскоре бросил учёбу, женился, получил израильское гражданство и был призван в Армию обороны Израиля. Во время Ливанской войны он служил в десантных войсках в Ливане.

В 1987 г. Ангрист получил магистерскую степень, а в 1989-м был удостоен докторской степени по экономике в Принстонском университете, после чего два года работал ассистентом профессора в Гарвардском университете. В 1991-95 гг. он был старшим преподавателем по экономике в Еврейском университете в Иерусалиме, затем преподавал в Массачусетском технологическом институте. С 1998 г. - профессор экономики МТИ.

Ангрист был был научным сотрудником Института экономики труда (2000), сотрудником Всемирного банка (2006), соредактором Journal of Labor Economics (2002-06), членом научного консультационного комитета Бюро переписи населения США (2011-12), членом редколлегии нескольких экономических журналов. Он является научным сотрудником Национального бюро экономических исследований с 1994 г., членом Эконометрического общества с 1998 года, членом Общества экономики труда с 2006 года, членом Американской академии искусств и наук с 2006 года.

За свои достижения в области экономики был удостоен ряда наград, в том числе Нобелевской премии по экономике 2021 года (вместе с Гвидо Имбенсом из Стэнфорда) "за методический вклад в анализ причинно-следственных связей в экономике".
   

Имя Джошуа - библейского происхождения. Имя Дэвид - английская форма библейского имени Давид. Происхождение фамилии Ангрист не установлено.