Ортодоксальная еврейская семья Аумана, спасаясь от фашизма, в 1938 году, за две недели до Хрустальной ночи, эмигрировала из Германии в США. После получения среднего образования в ешиве “Rabbi Jacob Joseph School” Ауман намеревался продолжить религиозное образование, но затем увлёкся математикой, хотя и остался глубоко религиозным человеком. Получил диплом бакалавра математики в Сити-колледже Нью-Йорка (1950), степень магистра (1952) и доктора (1955) - в Массачусетском технологическом институте. Под влиянием Джона Нэша начал заниматься теорией игр, новым тогда направлением математического анализа.

В 1956 г. Ауман начал преподавать на факультете математики Еврейского университета в Иерусалиме. Продолжал активное сотрудничество с американскими организациями - в частности, работал в "RAND Corporation" и консультировал Агентство по контролю над вооружениями и разоружению США. Преподавал в качестве приглашённого профессора в различных университетах Америки (Йельском, Калифорнийском и др.).

Ауман имеет двойное гражданство - Израиля и США. С 1985 - член Национальной академии наук США, с 1989 - Израильской академии наук. Один из ведущих мировых специалистов в области теории игр. Благодаря Ауману и его ученикам возникла израильская экономико-математическая школа, которая пользуется большим международным признанием. В 1994 г. получил премию Израиля в области экономики. В 1998-2003 гг. был президентом международного Общества изучения теории игр. Лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 года (совместно с Томасом Шеллингом) “за расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр”. Почётный доктор Университета Бар-Илан (2006).

В работах Аумана доказано, что в повторяющихся кооперативных играх каждому из игроков выгодно соблюдать интересы своих партнёров, поскольку если они погонятся за быстрой выгодой, то потеряют доверие партнёров, и в долгосрочной перспективе их потери превысят выгоды. Израильский математик исследовал, как влияет на кооперативные игры число их участников, регулярность их взаимодействия, качество прогнозирования, степень определённости поведения других игроков.

Полученные им результаты используются, прежде всего, для объяснения механизма функционирования “невидимой руки” рынка, когда каждый из участников рыночных сделок заинтересован в честном соблюдении контрактов. Они доказывают, например, что при конкуренции нескольких крупных фирм им выгоднее не вести ценовую войну, а договориться о разделе рынков сбыта.

Научные исследования Аумана оказали влияние и на теорию военных конфликтов. В своей нобелевской лекции он предложил рассматривать долгосрочные военные конфликты как повторяющиеся игры: он доказывал, что в таких играх соглашательская политика порождает надежды на новые уступки и объективно ведет к новым войнам. Ауман является членом праворадикального движения “Профессора за сильный Израиль", критикующего любые соглашения с палестинцами, основанные на уступках. Его старший сын, служивший в Армии Обороны Израиля, погиб в 1982 г. во время боёв в Ливане.

Израиль - имя библейского происхождения. Имя Роберт происходит от германского имени Хродеберт, что означает "яркая слава". Имя Джон - английская форма библейского имени Йехоханан, означающего "Яхве милостив". Фамилия Ауман происходит от средневерхненемецкого названия местности, состоящего из слов ouwe - "луг, ручей" и man - "человек".