Леон окончил нью-йоркскую школу Бронкс-Сайенс в 1947 году. (Инициал Н в его имени означает "Натан", но в официальных документах не расшифровывается). Учился в Колумбийском университете, где получил степени бакалавра (1951) и магистра (1953). Там же в 1954 г. Купер защитил докторскую диссертацию по физике. Работал в Институте перспективных исследований в Принстоне, преподавал в Иллинойском университете и в Университете штата Огайо. С 1958 г. - преподаватель, затем професссор Университета Брауна в Провиденсе, Род-Айленд.

Купер вёл исследовательскую работу в различных институтах, включая ЦЕРН (Женева) и Институт перспективных исследований. В 1972 г. он разделил Нобелевскую премию по физике с Джоном Бардиным и Джоном Шриффером - "за создание теории сверхпроводимости, обычно называемой БКШ-теорией". Именем Купера названы электронные пары Купера.

Купер является также директором Института мозга и нервной системы при Университете Брауна. Он автор нестандартного учебника "Физика: Структура и значение". Является членом Американского физического общества, Американской академии наук и искусств, Академии естественных наук, Американского философского общества, Фонда Гуггенхайма. Награждён Медалью Декарта Парижской академии и семью почётными докторскими степенями.
    

Имя Леон - от греческого слова leon, означающего "лев". Фамилия Купер произошла от идишского слова купер - "медь".