В 1905 г. Рихард Курант поступил в университет Бреслау (ныне Вроцлав), но поняв, что уровень обучения там недостаточно высок, продолжил образование сначала в Цюрихском, затем в Геттингенском университетах. В Гёттингене Курант стал учеником и помощником великого математика Давида Гильберта. В 1910 г. он получил степень доктора за работу "О применении принципа Дирихле к проблеме конформных отображений".

В 1914 г. Курант был призван в армию кайзеровской Германии и принял участие в Первой мировой войне, но вскоре был ранен и демобилизован. В 1919 г. он получил профессорскую должность в университете Мюнстера, но через год возвратился в Гёттинген.

С 1920 по 1933 г. он был профессором Гёттингенского университета. После прихода нацистов к власти в Германии и разгрома Математического института в Гёттингене, состоявшего по преимуществу из евреев, Куранту пришлось эмигрировать. Один год он провёл в Кембридже, Великобритания, затем переехал в США.

С 1936 г. Курант работал профессором Нью-Йоркского университета. В Нью-Йорке ему было поручено создание специального математического института, что он весьма успешно осуществил. В 1958 г., когда Куранту было уже 70 лет, он покинул пост директора Математического института, но продолжал активное сотрудничество с ним. В 1964 г. институт получил название "Курантовский институт математических наук". В 1966 г. Курант стал иностранным членом АН СССР. Основные научные результаты Куранта относятся к теории конформных отображений, к краевым задачам для уравнений математической физики. Куранту посвящён памятный знак на Аллее славы г. Нью-Рошель, Вестчестер, штат Нью-Йорк.

Рихард - имя германского происхождения, состоящее из элементов ric - "власть" и hard - "смелый". Фамилия Курант происходит от французского слова, означающего "ток, поток, струя".

Вне Нью-Йорка

В Гёттингене на Вильгельм-Вебер-Штрассе, 21 в память о Куранте установлена мемориальная доска.