Бернард был привезён в США ребёнком в 1907 году. После окончания Сиракьюзского университета и Бруклинской юридической школы он занимался юридической практикой (1929-43). В 1942 г. Файнзон поступил на работу в Службу иммиграции и натурализации США. В следующем году он перешёл в Совет по трудовым отношениям штата Нью-Йорк, где в 1950 г. занял пост "chief trial examiner" - чиновника, разбирающего конфликты и проводящего открытые слушания дела с расследованием фактов. Кроме того, он был президентом нью-йоркской Ассоциации помощи отсталым детям, а с октября 1966 г. - президентом Национальной ассоциации для отсталых детей. Умер от рака, похоронен на кладбище Маунт-Лебанон в Квинсе.

Имя Бернард - германского происхождения, от слов Bern  - "медведь" и hard - "смелый, сильный". Библейское имя Мордехай - персидского происхождения, значение - "слуга (бога) Мардука". Фамилия Файнзон - патроним от немецкого и идишского слова файн, которое переводится как "тонкий, нежный".