Голдфогл окончил городскую школу в Нью-Йорке и Таунсенд-колледж в Мэриленде, в 1877 г. получил адвокатскую лицензию. Он был избран судьёй Пятого окружного суда в Нью-Йорке в 1887 г., переизбран в 1893-м. Был также судьёй Муниципального суда Нью-Йорка в 1888-1900 гг., после чего возобновил адвокатскую практику. Он был делегатом Национальных конвентов Демократической партии в 1892 и 1896 годах. Голдфогл был избран от Нью-Йорка в Пятьдесят седьмой созыв Конгресса и шесть раз переизбирался, занимая должность конгрессмена с марта 1901 г. по март 1915-го. В двух созывах Палаты представителей он был председателем Комитета по выборам. Неоднократно выступал в Конгрессе в защиту евреев Российской империи и против ограничения иммиграции в США. Голдфогл был также депутатом Шестьдесят шестого Конгресса (1919-21). В июле 1921 г. он был назначен президентом Совета по налогам и сборам г. Нью-Йорка и занимал этот пост до своей смерти. Он был также, в разное время, президентом нью-йоркского отделения Бнай-Брит, президентом Конгрегации "Родеф Шолом" в Манхэттене (1921-29), директором Еврейского приюта для младенцев, членом Комитета советников Образовательного Альянса и др.

Имя Генри - английская форма германского имени Heimirich (позже Heinirich), состоящего из элементов heim - "дом" и ric - "власть". Имя Мейер означает "излучающий свет" на иврите. Фамилия Голдфогл произошла от немецких слов Gold - "золото" и Vogel - "птица".