Лазарь был одним из 13 детей в семье, он стал учиться тяжёлому ремеслу гранильщика алмазов в Антверпене в 13 лет, после того как его семья эмигрировала из России. В 1903 г. он открыл в Бельгии собственную компанию по обработке и торговле алмазами, оказавшуюся весьма успешной.

В 1914 г. Лазарь с женой и новорожденным сыном решил навестить свою мать в Нью-Йорке. Тем временем вспыхнула Первая мировая война, немцы захватили Бельгию, и его бизнес был разрушен. Но вскоре Каплан начал, практически с нуля, новый бизнес, открыв ювелирный магазин в Нижнем Манхэттене и фабрику по огранке алмазов в Пуэрто-Рико.

В 1929 г. разразилась Великая Депрессия, спрос на бриллианты резко упал, и Каплан вновь оказался на грани банкротства. Тем не менее, компания выстояла и затем перебралась в нью-йоркский Мидтаун. В 30-х годах она помогала найти работу в Новом Свете сотням коллег-евреев, бежавших из Амстердама и Антверпена от нацистского нашествия.

В 1936 г. Каплан прославился в мире бриллиантов тем, что расколол на 12 частей знаменитый 726-каратный алмаз "Йонкер", найденный за два года до этого в Трансваале. Он считается пионером овальной огранки бриллиантов. С годами он стал признанным экспертом, его компания была поставщиком Тиффани, Картье и других элитных ювелирных фирм. Когда в 1979 г. был создан Зал Славы алмазной индустрии, Каплан стал первым человеком, избранным в этот Зал. В том, что Нью-Йорк стал бриллиантовой столицей мира, есть немалая доля и его заслуги.

В 1972 г. компания "Lazare Kaplan & Sons" была преобразована в концерн, и холдинг "Lazare Kaplan International" (LKI) стал первой компанией в отрасли, акции которой котировались на бирже American Stock Exchange. Благотворительный фонд, созданный Капланом и его женой, помог сотням молодых людей получить высшее образование.

Имя Лазарь на иврите звучит как Эльазар - "Бог мне помог" или Элиэзер - "мой Бог мне помог". Фамилия Каплан происходит от польского слова каплан, которое означает "священник".