Джек, один из семи детей в бедной семье, приехал в Нью-Йорк из России в 1904 г. В 14 лет он начал работать рассыльным в магазине канцелярских товаров, в 17 получил повышение и стал продавцом, а ещё через несколько лет открыл собственное дело - оптовую торговлю канцтоварами.

Лински заметил, что конструкция стаплеров (канцелярских машинок), поставлявшихся из Германии, весьма несовершенна. Он предложил и запатентовал стаплер с открывающимся каналом - конструкцию, применяющуюся до сих пор. В 1925 г. он открыл в Нью-Йорке компанию Parrot Speed Fastener по изготовлению и продаже новых стаплеров, в 1931 г. - завод в Лонг-Айленд-Сити для их массового выпуска. В 1939 г. компания, выпускавшая и другие канцпринадлежности, изменила своё название на Speed Products, а в 1956 г. - на Swingline.

В 1970 г. Swingline была приобретена компанией American Brands за 210 млн. долларов. Лински оставался членом Совета директоров Brands до своей отставки в 1975 г.

Джек и его жена Белла были страстными коллекционерами. В их коллекции были шедевры живописи (Рубенс, Кранах Старший, Герард Давид, Буше и др.), ювелирные изделия эпохи Ренессанса, французская мебель 18-го века, фарфор рококо и др. Интересно, что бывшие нищие еврейские эмигранты из царской России владели двумя дюжинами фарфоровых статуэток, изговленных Российской императорской фабрикой фарфора. В 1982 г. Белла подарила 380 предметов - большую часть коллекции, оцененную в 60 млн. долларов, - нью-йоркскому музею "Метрополитэн", и с тех пор они хранятся там - в Jack and Belle Linsky Galleries.

Имя Джек - уменьшительное от английских имён John, Jacob, James, Jackson, Jake, Jay, Jayceon и др. Фамилия Лински произошла от названия города Лиско в Галиции (ныне Леско, Польша).