Отец Артура был иммигрантом из Польши, ведущим профсоюзным адвокатом, позже помощником окружного прокурора. Артур вырос в Верхнем Вест-Сайде, окончил школу им. ДеВитта Клинтона (1922),  Корнелльский университет (1926), получил юридическую степень в Школе права Колумбийского университета (1929). После получения адвокатской лицензии работал в юридической фирме Markewich & Null в Нью-Йорке, основанной его отцом. В 1930-38 гг. был помощником окружного прокурора Манхэттена, в 1947-50-м - членом Городского магистрата, в 1950-54-м - судьёй Городского суда. Судья Маркевич был избран в Верховный суд штата в 1954 г., отбыл 14-летний срок, был переизбран и переведен губернатором Нельсоном Рокфеллером в Апелляционный суд штата в 1968 году. Он вышел в отставку в 1982 г. после ещё одного 14-летнего срока. Судья Маркевич был председательствующим в коллегии судей Апелляционного суда, который в 1976 г. лишил Ричарда Никсона адвокатской лицензии штата Нью-Йорк "за препятствование должному отправлению правосудия" после отставки Никсона с поста президента в результате Уотергейтского скандала. В течение всей жизни судья Маркевич проявлял активность в филантропических и масонских организациях. В 1929 г. он был принят в Великую Ложу штата Нью-Йорк, с 1974 г. - Великий магистр этой ложи. В середине 1950-х Маркевич был избран президентом масонской организации американских сионистов "Бнай-Цион".

Артур - староанглийское имя неясного происхождения. Фамилия Маркевич произошла от идишской формы еврейского мужского имени Мордехай.