Гарри Мэйз занимался частной адвокатской практикой, с 1947 по 1963 г. работал в должности помощника районного прокурора округа Кингз, т.е. Бруклина, затем в должности помощника городского контролёра. В 1966-69 годах Мэйз был депутатом Городского совета Нью-Йорка. Он был горячим сторонником постройки туннеля, который должен был соединить Атлантик-авеню в Бруклине с Джонстон-авеню в Джерси-сити, Нью-Джерси, но этим планам не суждено было осуществиться. В разное время Мэйз работал также: секретарём Верховного суда штата Нью-Йорк; юридическим секретарём мэра Эйбрахама Бима; президентом Винтропского общинного клуба; членом Попечительского совета Конгрегации Шаари-Израэл.

Имя Генри (Гарри) - английская форма германского имени Heimirich (позже Heinirich), состоящего из элементов heim - "дом" и ric - "власть". Фамилия Мазе - аббревиатура от ми-зэра Аhарон hа-коhэн - "из семени Аарона-первосвященника".