Норман, сын галантерейщика, с детства мечтал стать художником. Проучившись недолго в военном училище во время Первой мировой войны, он затем изучал дизайн одежды в Школе дизайна Парсонса (Нью-Йорк) и в Институте Пратта (Бруклин).

С 1922 г. Норелл работал в Лонг-айлендской студии киностудии "Парамаунт Пикчерс", где создавал одежду для Глории Свенсон и другиз звёзд немого кино. Затем несколько лет работал на Бродвее, в частности, создавал костюмы для серии популярных шоу "Ziegfeld Follies" и для комедийного клуба "Cotton Club". Сотрудничал также с фирмами массового пошива одежды. В 1928 г. он был приглашён знаменитой предпринимательницей в области моды Хэтти Карнеги (Генриэтта Каненгайзер, 1889-1956) и проработал с ней 13 лет.

В 1943 г. Норелл впервые выиграл премию Коти и стал критиком в Институте Пратта (в 1962 г. институт присвоил ему почётную докторскую степень). В том же 1943 г. Энтони Трайна предложил ему создать совместную фирму "Трайна-Норрелл", в которой Норман отвечал за творческую, а Энтони - за коммерческую сторону бизнеса. Фирма просуществовала до 1960 г., после чего Норман руководил собственной фирмой "Норман Норелл".

В мире американской моды Норелл считается одним из самых выдающихся кутюрье. Он лауреат пяти премий Коти и Международной премии моды (Лондон, 1963). Ретроспективная выставка его работ состоялась в 1972 г. в музее Метрополитен.

Имя Норман - от старогерманского слова нордман, т.е. викинг. Имя Дэвид - английская форма библейского имени Давид. Норелл - псевдоним. Фамилия Левинсон - патроним от библейского имени Леви.