Деннис вырос в Сан-Франциско. В 1964 г. он получил степень бакалавра искусств в Калифорнийском колледже искусств и ремёсел в Окленде, в 1965-м - степень магистра искусств в Стэнфордском университете в Пало-Альто, Калифорния. С 1966 г. Оппенгейм жил в Нью-Йорке, преподавал изобразительное искусство в школе и готовился к своей первой персональной выставке, которая состоялась в 1968 году. В том же году он участвовал в важном групповом шоу Earthworks в галерее Dwan Gallery в Нью-Йорке. В дальнейшем его работы выставлялись в Берне (1969), Сан-Франциско (1973), Париже (1979), Женеве (1981, 1983, 1996), Нью-Йорке (1981, 1990, 1991), Кёльне (1990), Брюсселе (1990), Милане (1995) и др. Его работы включены в коллекции Галереи Тэйт в Лондоне, Городского музея Амстердама, Музея королевы Софии в Мадриде, музеев искусств Лос-Анджелеса, Филадельфии, Майами, Сиэтла и др. В Нью-Йорке работы Оппенгейма можно видеть в музеях Метрополитен и Уитни, в Музее современного искусства, Бруклинском музее искусств и в Евейском музее. В конце ноября 2010 года у Оппенгейма диагностировали рак печени. Он скончался через два месяца.

Имя Деннис происходит от имени греко-римского бога вина Диониса. Фамилия Оппенгейм произошла от названия немецкого города Oppenheim.