Озер эмигрировал из Киева в Нью-Йорк в молодости. Он учился в Колумбийском университете, где изучал гражданское строительство, и с 1911 г. работал инженером в Департаменте строительства Нью-Йорка. С конца 1910-х годов Озер работал  архитектором. Он был очень востребован в короткий период интенсивного строительства небоскрёбов в Манхэттене, когда накануне краха фондовой биржи 1929 года были сколочены огромные состояния.  Особенно много заказов он получил на коммерческие и офисные здания в Одёжном районе Манхэттена. Среди его известных проектов - здание Центра моды на Седьмой авеню (1922), Сентрал-Билдинг на ул. Джоралимон в Бруклине (1925) и богато декорированное здание Тринити-Корт в Даунтауне (1927). Озер был членом Американского общества инженеров-строителей.
 

Имя Генри - английская форма немецкого имени Генрих, состоящего из элементов heim - "дом" и ric - "власть". Фамилия Озер - вероятно, сокращение от "Озерянский".