Родители Джозефа иммигрировали в США из Германии и Австро-Венгрии незадолго до начала Гражданской войны. В 15 лет Джозеф отправился в Нью-Йорк учиться. Он окончил Колумбийский университет в 1896 г., получил степень бакалавра права в Колумбийской Школе права в 1899 г. Затем Джозеф и его друг открыли в Нью-Йорке юридическую практику, которая в 1902 г. слилась с другой фирмой и стала называться "Elkus, Gleason & Proskauer".

Будучи активистом Демократической партии, Проскауэр познакомился с губернатором штата Альфредом Смитом и стал советником его избирательной компании и спичрайтером. Он оставался близким другом Смита до смерти последнего в 1944 г. В 1940 г. Проскауэр вышел из Демократической партии, будучи не согласен с третьим сроком президента Ф. Д. Рузвельта.

В 1923 г. Проскауэр был избран в Верховный суд штата Нью-Йорк, где проработал до 1930 г. Вернувшись затем к частной практике, он стал партнёром крупной международной юридической фирмы "Rose & Paskus", основанной в 1875 г. В этой фирме, представляющй, в частности, интересы многих спортивных организаций и знаменитостей и известной ныне как "Proskauer Rose", он проработал 40 лет.

Всю свою жизнь судья Проскауэр проявлял активность во многих гражданских и благотворительных организациях. Он был президентом Еврейской ассоциации молодых людей (1926-31), президентом Федерации еврейских филантропов (1931-35), президентом Американского еврейского комитета (1943-49), затем почётным президентом этого комитета. В 1952 г. он возглавлял Криминальную комиссию штата, успешно боровшуюся с организованной преступностью, позже способствовал созданию Прибрежной комиссии для борьбы с рэкетом в доках. В 1950 г. судья Проскауэр издал мемуары, названные "A Segment of My Times".
 

Имя Джозеф - английская форма библейского имени Йосеф. Имя Мейер означает "излучающий свет" на иврите. Фамилия Проскауэр - топонимическая, от названия города Проскуров (ныне Хмельницкий), Украина.