Моррис вырос в небогатой семье. В 15 лет он отправился в Александрию (Египет), работал у греческого купца Гараффоло, торговавшего табачными изделиями. В 1892г. Моррис иммигрировал в США и уже в следующем году представил на Всемирной выставке в Чикаго свои сигареты, набитые турецким табаком и изготовленные на запатентованной им машине.

Вернувшись в Нью-Йорк, Моррис вместе со своим братом Соломоном открыл в районе Морнингсайд-Хилл фабрику по изготовлению этих сигарет. Они пригласили около 200 евреев из Турции для работы на этой фабрике. Бизнес оказался чрезвычайно успешным, и к 1907-му году братья стали миллионерами. В 1916г. они продали свои бизнес компании American Tobacco Co. за гигантскую по тем временам сумму в 3,5 миллиона долларов.

В 1908 г. турецкий султан Абдулгамид II наградил Морриса Шинази медалью "Меджидие". Шинази завещал крупные суммы пяти нью-йоркским больницам и нескольким еврейским, протестантским и католическим организациям, а также оставил 1 млн. долларов для создания детской больницы в его родном городе Манисе (его древнее название - Магнезия). "Moris Sinasi Children's Hospital" был открыт в 1933 г. и продолжает работать в 21-м веке. Его имя носит также базирующаяся в Турции Международная ассоциация детского здоровья.

Имя Моррис восходит к латинскому имени Mauritius со значением "мавр, темнокожий". Имя Муса - турецкая форма библейского имени Моисей. Фамилия Эскенази (Ашкинази) означает "еврей германского (европейского) происхождения".