Альберт родился в семье евреев - иммигрантов из Российской Польши. В 1946 г. он окончил лучшую нью-йоркскую городскую школу "Стайвесант" и поступил в Иллинойский университет в Шампейн-Урбане, который окончил с отличием. В 1949 г. Шенкер поступил в докторантуру по философии в Колумбийском университете, но не окончил.
Преподавательская карьера Шенкера началась в 1952 г. с работы подменного учителя математики в школе PS 179 в Восточном Гарлеме. В 1953-59 гг. он работал в школе JHS 126 в Квинсе и оставил эту работуе, чтобы стать штатным организатором Гильдии учителей. Он активно участвовал в создании Объединённой федерации учителей (UFT) и в 1962 г. был избран её секретарем, а в 1964-м сменил Чарльза Когена на посту президента UFT. В 1986 г. его сменила на этом посту Сандра Фелдман.
В 1967 г.  Шенкер возглавил трехнедельную забастовку учителей Нью-Йорка, требовавших уменьшения классов и увеличения бюджетных ассигнований на образование. Это привело его в тюрьму на 15 суток за нарушение закона штата, запрещающего забастовки государственных служащих. В следующем году он отсидел ещё 15 суток за подобное же нарушение.
В 1972-78 гг. Шенкер занимал пост вице-президента организации NYSUT (Объединение учителей штата Нью-Йорк). В 1973 он был избран вице-президентом и членом исполнительного совета АФТ-КПП (Американская федерация труда - Конгресс производственных профсоюзов) Он был неизменным президентом Американской федерация учителей (AFT) с 1974 г. Шанкер сыграл важную роль в спасении Нью-Йорка от банкротства, попросив Пенсионную систему учителей инвестировать 150 млн. долларов в облигации Муниципальной корпорации помощи.
С 1970 г. Шенкер вёл колонку "Где мы находимся" в газете "Нью-Йорк Таймс". Он был делегатом Национального съезда Демократической партии в 1976, 1980, 1984, 1988 и 1996 годах. Он работал приглашённым профессором в Хантер-колледже (1986) и в Гарварде (1987-90). В 1989 г. президент Джордж Буш включил его в Президентскую консультативную группу по политике в области образования. С 1993 г. Шанкер - президент-основатель Международного образовательного союза. Его деятельность отмечена целым рядом премий - от Нью-Йоркского университета,  Антидиффамационной лиги, Рочестерского университета, Педагогического колледжа Колумбийского университета и др.

Имя Альберт - от  германского мужского имени Albrecht, составленного из слов adal - "благородный" и berht - "знаменитый". Фамилия Шенкер произошла от идишского слова шенкер, которое переводится как "бармен".