Родители Гринберга, евреи-иммигранты из Румынии, владели фабрикой декатировки тканей в Нью-Йорке. Семейство перебралось в Бронкс, когда Гринбергу было около семи. В юные годы у него были серьёзные проблемы с координацией и плоскостопие, мешавшее ему быстро бегать. Хэнк усердно работал над тем, чтобы избавиться от своих физических недостатков, в числе которых также оказались угревая сыпь и заикание.

Гринберг учился в школе им. Джеймса Монро, где показал прекрасные результаты в многоборье. Самым любимым видом спорта для Хэнка всегда был бейсбол. Чаще всего его выставляли на первую базу, и своего первого серьёзного успеха Гринберг добился еще в школе, когда помог своей команде выиграть чемпионат города. Окончив школу, он проучился год в Нью-Йоркском университете и в 1930 г. подписал контракт с Detroit Tigers, став самым молодым игроком высшей лиги.

В мае 1941 г. Гринберг был призван в армию и через полгода получил звание сержанта, но в декабре был демобилизован при общем сокращении армии - за два дня до Пирл-Харбора. В 1942-м он вновь был призван, служил инструктором по физподготовке в авиации и спецназе, в том числе полгода - в зоне боевых действий в Юго-Восточной Азии. Демобилизовался в 1945-м в чине капитана и вернулся в "Тайгерс". В 1947 г. Хэнк был продан в команду Pittsburgh Pirates, и это сделало его первым бейсболистом, чей доход превысил 80 тыс. долларов в год.

Гринберга по праву называют первой еврейской суперзвездой во всем американском профессиональном спорте. Он привлек внимание всей нации, после того как в 1934-м отказался выходить на поле в самый святой для евреев праздник Йом-Кипур, хотя никогда не был особо набожным. Гринберг неоднократно становился жертвой антисемитизма, когда до него доносились хамские выкрики не только от зрителей, но и от соперников.

Хэнк Гринберг пять раз выступал в команде Всех Звёзд, дважды выигрывал номинацию "Самый ценный игрок" Американской лиги. В 1956 г. он был избран в Зал Славы бейсбола, а в 1999 г. был включён в символическую сборную 20-го столетия. Он стал первым игроком, которому удалось сделать 25 или более хоумранов в сезоне в каждой лиге. По окончании карьеры Гринберг был успешным спортивным менеджером.
 

Имя Генри - английская форма немецкого имени Генрих, состоящего из элементов heim - "дом" и ric - "власть". Бенджамин - библейское имя. Фамилия Гринберг произошла от немецких слов gruen - "зелёный" и Berg - "гора".