Грумет родился в семье евреев - иммигрантов из Польши. Окончил Квинс-колледж в 1942 году, во время Второй мировой войны служил в армии США (1943-46). По профессии он был квалифицированный механик-ремонтник. После выхода на пенсию жил во Флориде.

Имя Моррис восходит к латинскому имени Mauritius со значением "мавр, темнокожий". Мойше - идишскаяя форма библейского имени Моисей. Фамилия Грумет происходит от немецкого слова Grummet, означающего "второй укос".