В 1935 г. Стайнбергер эмигрировал с родителями из нацистской Германии в США. В 1942 г. он окончил Чикагский университет и до конца Второй мировой войны работал в радиационной лаборатории Массачусетского технологического института. В 1948 г. Стайнбергер получил докторскую степень в Чикагском университете за исследование мюонов в космических лучах и открытие явления распада мюонов на электрон, позитрон, нейтрон и антинейтрино.

В 1949-50 гг. Стайнбергер был профессором Калифорнийского университета в Беркли, в 1950-68 - Колумбийского университета. В 1968-86 гг. был ведущим научным сотрудником, а затем директором Европейского центра ядерных исследований в Швейцарии. С 1986г. продолжил научную и преподавательскую работу в Италии.

В 1962 г. Стайнбергер совместно с Леоном Лидерманом и Мелвином Швoрцем впервые идентифицировал нейтрино не в космических лучах, а в полученных в лабораторных условиях лучах высокой энергии. Продолжая совершенствовать технику эксперимента с нейтрино, учёные открыли существование двух различных видов нейтрино и антинейтрино - электронного и мюонного, что значительно расширило представления о строении материи. За эти открытия Стайнбергер, Лидерман и Швoрц были удостоены Нобелевской премии по физике (1988). 
 

Имя Джек - уменьшительное от английских имён John, Jacob, James, Jackson, Jake, Jay, Jayceon и др. Имя Ганс - уменьшительная форма немецкого имени Иоганн, от библейского Йехоханан, означающего "Яхве милостив". Имя Якоб - немецкий вариант библейского имени Яаков. Фамилия Штейнбергер произошла, вероятно, от названия города Штайнберг в Саксонии, Германия.