Уоррен был младшим из пяти детей в небогатой еврейской семье иммигрантов из Литвы. Школьником он продавал простыни и полотенца с отцовского грузовичка. В 1942 г. Олперт окончил Бостонский университет, получив степень бакалавра естественных наук. Во время Второй мировой войны служил рядовым в армии США, в 1945 г. был ранен при высадке союзников в Нормандии, награждён медалью "Пурпурное Сердце". В 1947 г. получил степень магистра деловой администрации в Гарвардской школе бизнеса.

Через три года, одолжив у брата 9 тыс. долларов, он открыл в Провиденсе, Род-Айленд, компанию по оптовой торговле нефтью. Через полвека его компания Warren Equities, Inc. вошла в число 500 крупнейших частных компаний США, она была среди лидеров на рынке энергоносителей, продуктов, транспорта и недвижимости. Годовой объём продаж составил 2 млрд. долларов, в компании работало более 2000 человек в 11 штатах.

Олперт никогда не был женат, у него не было детей. Созданный им благотворительный Фонд Уоррена Олперта основал ежегодную Премию Олперта, которая присуждается ведущим мировым медицинским исследователям за их достижения. Кроме того, Олперт был одним из основателей программы "Новый путь" Гарвардской медицинской школы, он пожертвовал 20 млн. долларов Гарварду в 1993 г. на создание нового исследовательского центра. Он также выделил 15 млн. долларов нью-йоркской больнице Маунт-Сайнай на создание отделения радиологической педиатрии. Незадолго до смерти Уоррена его Фонд пожертвовал 100 млн. долларов Университету Брауна в Провиденсе.

Уоррен - имя нормано-французского происхождения, значение спорно. Фамилия Олперт происходит от названия немецкого города Хайльбронн (Heilbronn) или от германского мужского имени Albert, составленного из слов adal "благородный" и berht "знаменитый".

Вне Нью-Йорка

- Warren Alpert Medical School и Warren Alpert Mall в Бостонском университете.

- Warren Alpert Medical School в Университете Брауна (Провиденс, Род-Айленд).

- Warren Alpert Research Building в Гарвардском  университете (Бостон).