Сол родился в семье евреев-иммигрантов из Алеппо, Сирия. Его детство прошло в Мексике. Когда разразилась Великая депрессия, семья переехала в США и поселилась в Арканзасе; затем переехали в Техас, где Сол и его младший брат Илай зарабатывали торговлей вразнос в мексиканском районе. Накопив достаточно денег, они открыли универсальный магазин, а затем перебрались в Северную Каролину, где Сол руководил оптовым бизнесом по продаже детской одежды, а Илай - их розничным бизнесом. В начале 50-х Сол начал импортировать из Японии зажигалки, а затем и транзисторные радиоприемники. В 1956 г. он стал соучредителем компании Realtone Electronics (позже - SDI Текнолоджиз). Сол был председателем и генеральным директором с 1956 по 1985 год и председателем исполнительного комитета с 1986 по 2010 г. Под руководством Ашкенази компания представила на рынок несколько новых категорий товаров в сфере электроники, в том числе первые карманные транзисторные радиоприемники, аудиосистемы, комбинациии телефон-радио-часы и др. Сол Ашкенази сотрудничал с многочисленными благотворительными организациями. Он был одним из спонсоров стипендиального фонда Университета Ешива, соучредителем Еврейского общинного фонда, пожертвовал 56 акров земли в Нью-Джерси Ешиве им. Гиллеля. 

Имя Сол - английская форма библейского имени Саул. Фамилия Ашкенази означает "еврей европейского происхождения".