Уоррен окончил бруклинскую среднюю школу "Эразмас-Холл". Свою журналистскую карьеру он начал в 1926 г. в качестве одного из трёх репортёров газеты "Бруклинский гражданин", зарабатывая этим на своё обучение в Колумбийском университете. Но уже в 1928г. он бросил колледж и был принят в штат хёрстовского издания "The New York American".

В 1930 г. Москоу начал работать в "Нью-Йорк Таймс", большая часть его материалов была посвящена политике в городе и штате. В 1938 г. редакция "Таймс" назначила его шефом своего бюро в Олбани, столице штата, и он проработал там до 1944 г., когда газета послала его на остров Гуам, где находилось  командование Тихоокеанского флота США. Во многом из его репортажей Америка узнавала подробности о бомбовых рейдах на Японию, вытеснении японцев с захваченных ими территорий и др.

За 22 года работы в авторитетнейшей американской газете Москоу приобрёл репутацию одного из ведущих политических обозревателей своего времени. В 1948 г. вышла первая из четырёх его книг - "Politics in the Empire State". За ней последовали "What Have You Done for Me Lately: The Ins and Outs of New York City Politics" (1967), "Roosevelt and Willkie" (1968) и "The Last of the Big-Time Bosses" (1971).

В 1952 г. Москоу оставил работу в "Нью-Йорк Таймс" и стал главным политическим советником Роберта Вагнера, в ту пору президента Манхэттена. Когда Вагнер стал мэром Нью-Йорка, он последовательно назначал Москоу на ряд ответственных постов: специальным помощником (1954), исполнительным директором Жилищного управления (1955), исполнительным ассистентом мэра (1958). Но в 1961 г. Москоу и Вагнер разошлись во взглядах на борьбу с Таммани-Холлом, и Москоу оставил гражданскую службу.

В 1963-66 гг. Москоу был редактором "Нью-йоркского юридического журнала". В начале 1970-х он был директором премиальных программ Городского фонда Нью-Йорка. Москоу вышел в отставку в начале 1980-х, но продолжал печататься в "Чифе" - еженедельнике городских служб Нью-Йорка.

Уоррен - имя нормано-французского происхождения, значение спорно. Фамилия Москоу - англизированная форма фамилии Мошков, славянского патронима от Мошко - уменьшительной формы библейского имени Моше.