Том Стоппард родился в интеллигентной еврейской семье. Его отец в 1929 году был председателем исполнительного комитета Еврейского объединения Чехословакии; с 1932 г. служил врачом обувной фабрики "Батя" в Злине.

В начале нацисткого вторжения в Чехословакию семья Штраусслер бежала в Сингапур. В связи с угрозой японского вторжения в 1941 г. Марта Штраусслер вместе с двумя сыновьями была вынуждена бежать дальше, в Индию. Евжен Штраусслер вместе с другими мужчинами - работниками фирмы был оставлен в Сингапуре, интернирован японцами после захвата ими города и погиб при бомбардировке. Оставшиеся в Чехословакии родственники Стоппарда, включая бабушек, дедушек и трёх сестёр его родителей, погибли в Холокосте.

В 1946 г. мать Томаша вторично вышла замуж, за майора британской армии Кеннета Стоппарда, и уехала вместе с ним в Англию. Стоппард, дав мальчикам свою фамилию, сделал всё, чтобы они выросли настоящими британцами. Том учился в частных школах-интернатах в Ноттингемшире и Йоркшире. В 1954 г. он был исключён из школы и занялся журналистикой, сотрудничал в бристольских газетах, сочинял короткие радиопьесы.

Приехав в 1960 г. в Лондон, Стоппард работал сценаристом на радио и телевидении,  выступал в качестве театрального критика под псевдонимом Уильям Бут. Тогда же он начал сочинять большие пьесы для театра. Его первая пьеса "Ходьба по воде" была впервые поставлена в Гамбурге в 1963 г. Пьеса, которая принесла Стоппарду известность - "Розенкранц и Гильденстерн мертвы" (1966, переведена на русский Иосифом Бродским).

Среди наиболее известных пьес Стоппарда - "Травести" (1974), историческая фантастика о гипотетической встрече Ленина, Джойса и Тристана Цара в Цюрихе, где все они жили во время Первой мировой войны;  “Каждый хороший мальчик заслуживает поощрения” (1977), пьеса-протест против советской карательной психиатрии, посвящённая советским диссидентам Файнбергу и Буковскому; "Ночь и день" (1978), сатира на британские масс-медиа.

В своих пьесах зрелого периода Стоппард поднимает философские вопросы морали и свободы личности. Его пьесы долгое время были основой репертуара Королевского Национального театра. В июне 2019 года было объявлено, что Стоппард написал новую пьесу "Леопольдштадт", действие которой происходит в еврейской общине Вены первой половины 20-го века. Премьера состоялась в январе 2020-го в театре "Уиндэмс" в лондонском Вест-Энде.. Спектакль получил премию им. Лоуренса Оливье за лучшую новую пьесу. В  октября 2022 года спектакль был переведен на Бродвей.

Стоппард дружил с чешским драматургом (позже президентом) Вацлавом Гавелом, которому посвятил свою пьесу "Профессиональный трюк" (1977). В предисловии к пьесе он писал, что поводом к её созданию стало появление "Хартии 77". Стоппард также сотрудничал с "Международной амнистией", с журналом "Index on Censorship", защищавшим свободу слова, и с Комиссией против злоупотребления психиатрией. В 1983 г. в Стокгольме была основана чешская литературная премия им. Тома Стоппарда. Его имя внесено в Зал славы американского театра (в нью-йоркском театре "Гершвин"). В 1978 г. он становится командором Ордена Британской империи, в 2000 г. получает от королевы Елизаветы II орден "За заслуги" и рыцарское звание.

Имя Том (чешская форма - Томаш) происходит от арамейского Tôm (Фома) - "близнец". Фамилия Стоппард происходит от названия города Stockport в графстве Чешир, Англия. Фамилия Штраусслер имеет германское происхождение и означает "город (на пересечении) дорог".