Многодетная еврейская семья Странски иммигрировала в США в 1886 году. Альберт получил американское гражданство в 1892 г. Он был старшим сыном и с детства помогал отцу заботиться о семье, и некоторые из его братьев и сестёр впоследствии получили известность в академических и артистических кругах. Его брат Макс был выдающимся хирургом-ортопедом. Но сам Альберт не получил образования и зарабатывал на жизнь тем, что управлял восемью жилыми домами в Гринич-Виллидж, принадлежавшими крупной корпорации. В этих домах было около 100 квартир, и среди жильцов было много начинающих артистов и художников, которые не всегда могли вовремя вносить квартплату. Странски отличался в этом вопросе либерализмом и благодаря своему великодушию заслужил у жильцов прозвище "папа", но в конце концов он эту работу потерял. У Альберта и его жены Маши Герцфельд (1872-1962) было четверо детей. Их дочь Леонора (1900-1991) была замужем за Айрой Гершвином.
 

Имя Альберт - от германского мужского имени Albrecht, составленного из слов adal - "благородный" и berht - "знаменитый". Фамилия Струнский произошла от названия местечка Струнь в районе Полоцка, Беларусь.