Генри был одним из четырёх детей в семье, его отец происходил из сефардской семьи и иммигрировал в США из Богемии, мать - из Австрии. Генри учился в Колумбийском университете, путешествовал по Европе, по возвращении в Нью-Йорк работал архитектором в Ашвилле, Северная Каролина. В 1912 г. Генри и его брат Джордж открыли в Нью-Йорке архитектурную фирму George A. and Henry Boehm, architects, просуществовавшую до 1927 года. По проектам фирмы были построены школы PS 32 в Бруклине и PS 165 в Квинсе, два здания на Дамской Миле в Манхэттене, здание библиотеки в Боро-Парке и др. Среди работ Генри Бёма выделяется здание банка Harriman National. Позже он работал в архитектурных фирмах Skidmore, Owings & Merrill и Rogers & Butler.

Имя Генри - английская форма немецкого имени Генрих, состоящего из элементов heim - "дом" и ric - "власть". Фамилия Бём означает, на немецком и идиш, - "баварец".