В 1901 г. семья Шварц приехала в Америку и поселилась в Нью-Йорке, в Нижнем Ист-Сайде. Проявивший с детства актёрские способности, Морис в 1905 г. дебютировал на еврейской сцене в Балтиморе, затем играл в труппах Кливленда и Филадельфии. В 1912 г. был приглашён Д. Кесслером в возглавлявшийся им театр на Второй авеню в Нью-Йорке и проработал в нём шесть лет.

К 1918 г. Шворц, собрав коллектив единомышленников, решил открыть новый еврейский театр и отобрать для него только высокохудожественный репертуар. Он арендовал помещение и приступил к репетиции пьесы Залмана Либина (1872-1955) "Человек и его тень". Премьера имела огромный успех. С 1926 г. этот коллектив, получивший название "Еврейский художественный театр", выступал в собственном здании на Второй aвеню угол 12-ой улицы (Джаффе-билдинг).

В Художественном играли выдающиеся актёры, но "звездой" был сам Шворц. Обладая выразительной, типично еврейской внешностью, пользуясь приёмами классической театральной школы и виртуозно владея мимикой, он достигал в игре большой художественной силы. Наибольший успех выпал на его выступления в ролях реб Мейлаха в "Иоше Калб" по И. И. Зингеру, Луки в "На дне" М. Горького, Освальда в "Привидениях" Г. Ибсена, Шейлока в "Венецианском купце" и Лира в "Короле Лире" Шекспира. Кроме того, Шворц поставил и сыграл главную роль в фильме на идиш "Разбитые сердца" (1926).

Еврейский художественный театр за 32 года существования поставил более 150 спектаклей по пьесам Лопе де Вега, Дж. Б. Шоу, Шолом-Алейхема и др. Огромный успех имели две пьесы по романам И. И. Зингера "Иоше Калб" и "Братья Ашкенази". Еврейский художественный был наиболее популярным из 20 еврейских театров, ежедневно ставивших спектакли на Второй авеню в тридцатые годы. Театр был известен всей еврейской диаспоре, говорившей на идиш - он гастролировал в странах Америки, Европы, в Южной Африке, Израиле. Театр стал одним из наиболее ярких феноменов культурной жизни Нью-Йорка. Бродвейские театральные критики высоко ценили игру Шворца и других актёров труппы.

В 1950 г. Шворц вынужден был закрыть свой театр, остававшийся одним из последних на Второй авеню. Основной причиной этого была ассимиляция второго и третьего поколений еврейских эмигрантов в Соединённых Штатах. Попытка возродить театр в 1955 г. не удалась. Не имел успеха и проект Шворца создать театр пантомимы. В 1960 г. Шворц приехал в Израиль с намерением открыть здесь центр культуры на идиш. Был собран новый коллектив, приступивший к репетициям спектакля "Иоше Калб", однако через два месяца Шворц скончался. Похоронен в театральной секции нью-йоркского кладбища Маунт-Хеброн.

Имя Морис восходит к латинскому имени Mauritius со значением "мавр, темнокожий". Фамилия Шварц произошла от идишского слова шварц, которое означает "чёрный".