Эйб учился в хедере, окончил городскую среднюю школу. Его музыкальные способности проявились в детстве, с 6 до 13 лет он был певчим хора кантора Йосселе Розенблатта. Первую одноактную оперу Эйб написал в 8 лет, а в 9 был принят в детский хор нью-йоркской Метрополитэн-опера, которым впервые дирижировал 3 года спустя на представлении "Ричарда III".

В начале 1920-х Элстaйн стал работать концертмейстером. В 1924 г. он участвовал в подготовке концерта в честь 30-ой годовщины Всеамериканского союза канторов и аккомпанировал на пробах Пинхасу Миньковскому, Зейвлу Квартину и Мордехаю Хершману, а также дирижировал объединённым хором канторов. В следующем году Элстaйн получил приз нью-йоркской музыкальной школы Джулиард, что дало ему возможность продолжать обучение по классу Рувима Голдмарка.

В 1928 г. Эйб дебютировал в качестве композитора еврейского театра, написав музыку к спектаклю Виленской труппы "Борьба" и к спектаклю театра АРТЕФ "У ворот". В том же году на фирме "Виктор" состоялась его первая сессия звукозаписи в качестве аккомпаниатора кантора Й. Розенблатта. В сезоне 1929-30 г. он был ангажирован Фолкс-театром Людвига Саца, для которого написал музыку к спектаклю Шейне-Рухл Симкоф "Любовник его жены" (экранизирован Сиднеем Голдиным в 1931-м) и оперетте Нахума Стучкова "Когда захочет ребе". Летом 1930 г. он аккомпанирует Дине Голдберг и Дэйву Лубрицки в их европейских гастролях.

В сезоне 1930-31 гг. Элстaйн работал композитором и дирижёром нью-йоркского Публичного театра. Он сочинил музыку к комедии И. Розенберга "Жених из Бердичева", комедии И. Лилиана "Тромбонист" и оперетте Бориса Томашевского "Страна Израиля", а затем в качестве концертмейстера сопровождал Молли Пикон в её гастрольной поездке по Европе и Южной Америке. В ходе этого турне он написал новые номера и сделал новые аранжировки к оперетте А. Гольдфадена "Шмендрик" и четырём опереттам Дж. Румшинского.

В конце 30-х Элстaйн начал работать в идишском кино - написал музыку к трём фильмам Иосифа Грина: "Идл митн фидл" (1936), "А бривеле дер мамен" (1938) и "Мамеле" (1938). В 1962 г. в нью-йоркской Сити-Опере состоялась премьера единственной оперы Элстaйна - "Голем" (либретто он написал вместе со своей женой Сильвией Риган). В 1951-63 гг. Элстaйн был музыкальным руководителем идишской радиостанции WMGM в Нью-Йорке, а также автором программ еврейской музыки на радиостанции WEVD. Он был также одним из создателей Союза еврейских композиторов.

Имя Эйбрахам (уменьшительное Эйб) - английская форма библейского имени Авраам. Фамилия Эльштейн произошла от идишских слов эйль - "масло" и штейн  - "камень".