Александр Ольшанецкий учился в еврейской школе и в гимназии. Играть на скрипке начал в 6 лет. В течение девяти лет учился в одесской государственной музыкальной школе. В 1917 г. он был принят скрипачом в оркестр Одесского оперного театра, вместе с которым в годы Гражданской войны оказался в Сибири. Был мобилизован в Белую армию, служил капельмейстером полка, вместе с которым по окончании Гражданской войны попал в Харбин (Китай).

В Харбине Ольшанецкий заменил уехавшего в США Переца Сэндлера на посту дирижёра еврейского театра Аврама-Алтера Фишзона. Его первой работой стала оперетта "Назад домой в Сион" на либретто И. Каплана. За ней последовала музыка к спектаклю "Арончик и Соломончик" С. Фогельнеста. Позже в составе труппы русской оперетты он уехал на годичные гастроли в Японию, Китай и Индию. В 1921 г. вернулся в Харбин, но еврейского театра там больше не было, и он решил отправиться в Америку к своему дяде, актёру еврейского театра Хайману Майселу.

В 1922 г. Александр Олшанецки приехал в США. В 1923 г. он написал музыку к трём спектаклям Еврейского Художественного театра Мориса Шворца: "Анафема" Леонида Андреева, "Изкор" Гарри Секлера и "Шабтай Цви" Ежи Жулавского. Около года он провёл на Кубе, работая музыкальным руководителем местного театра. По возвращении в Нью-Йорк он был приглашён на должность дирижёра оркестра и композитора театра "Леннокс" в Гарлеме, для которого написал музыку к шести опереттам разных авторов.

В 1924 г. Олшанецки женился на своей кузине, актрисе и певице Белле Майсел. (Этот брак распался через девять лет). В сезоне 1925-26 гг. он работал с труппой Михла Михалеско в бруклинском театре "Либерти", для которого написал музыку к трём опереттам на либретто Луи Фраймана: "Сладкая любовь", "Золотой солдат" и (совместно Йосефом Бройди) "Студенческая любовь".

В 1926-30 гг. Олшанецки работал в Национальном театре (на Второй авеню) с труппами Сэма Гольденберга и Михла Михалеско для которых написал музыку к нескольким спектаклям: "Мачеха" Г. Калмановича, "В саду любви" Калмановича и У. Зигеля, "Ночь в Калифорнии", "Золотой денек" и "Рай для двоих" Зигеля, "Ицикл Шолтик" и "Дер литвишер янки" И. Леша, "Только одна ночь" А. Блюма, "Удача в любви" М. Шварца, "В маленьком местечке" И. Розенберга, "Золотое колечко" Х. Таубера.

В 1927-29 гг. Олшанецки возглавлял студийный оркестр фирмы звукозаписи "Брунсвик". Собственный оркестр Александра дебютировал в эфире нью-йоркского еврейского радио 24 февраля 1929 г., в его исполнении прозвучала новая музыка, написанная Олшанецким к классической "Бар-Кохбе" Аврума Гольдфадена.

В сезоне 1930-31 гг. для театра "Проспект" Олшанецки написал музыку к спектаклям "Хочу ребенка", "Больной муж" и "Первый поцелуй" И. Розенберга. В 1932 г. театра он написал музыку к оперетте Зигеля "Песня гетто" для Национального театра. В 1934 г. для Театра на Второй авеню (труппа Дувида Кесслера) была написана музыка к оперетте "Шарманщик" Л. Фрайма, а в 1935-м - к оперетте "Что делают девушки" Зигеля.

В 1938-м, для труппы А. Гросса,  Олшанецки написал музыку к оперетте "Да здравствует Америка" А. Блюма. В следующем году он написал музыку для радиоспектакля "Новый человек" по пьесе С. Кона и И. Фридмана. Его последние оперетты были написаны для Публичного театра на либретто работавшей на еврейском радио Джулии Бернс: "Золотая страна" (1943) и "Всем хочется жениться" (1944).

Олшанецки написал музыку к кинофильмам "Сын кантора" (1937) режиссёра И. Мотылёва и "Виленский  хазан» (1940) М. Носика, а также некоторое количество литургической музыки. С середины 20-х до середины 40-х Олшанецки был ключевой фигурой на еврейской сцене Нью-Йорка. Похоронен в театральной секции нью-йоркского кладбища Маунт-Хеброн. 

Имя Александр - древнегреческого происхождения, от слов alexo - "защищать" и andr - "мужчина". Имя Иегошуа - библейское, составлено из корней слов Иегова (Яхве) и шуа - "спасение". Фамилия Ольшанецкий - топонимическая, от названия одного из нескольких населённых пунктов в Украине и Беларуси - Ольшаны или Ольшана.