Генри вырос в Бруклине, окончил Флэтбушскую ешиву - школу, которую его отец помог создать. Отец Генри, владелец швейной фабрики в Манхэттене, умер после долгой болезни вскоре после бармицвы Генри. Окончив ешиву первым учеником в классе, Генри смог получить одно из немногих мест в Колумбийском университете, зарезервированных дле нью-йоркских евреев.

В течение двух лет Эверетт изучал экономику, а затем был призван в армию, служил сапёром на Филиппинах. По окончании войны получил степень бакалавра (1947), а через два года - магистра по финансам в Школе бизнеса Колумбийского университета.

Не надеясь получить работу в финансовом секторе, Эверетт начал работать экономистом в сети универмагов "Эйбрахам и Страус". Проведя самостоятельные исследования финансового рынка, он начал заниматься инвестированием - вначале собственных средств, затем денег родственников и друзей. С помощью жены Эдит, учительницы, получившей брокерскую лицензию, ему удалось превратить это в прибыльное предприятие. В начале 70-х Эверетт оставил "Эйбрахам и Страус" и основал брокерскую фирму "Лексингтон Ассошиэйтс". Он оставался президентом "Лексингтон" до своей отставки в 1996 г.

Ещё в 1957 г. Генри и Эдит создали семейный благотворительный фонд, ежегодно выделявший пожертвования на различные образовательные, культурные и еврейские программы. В течение многих лет Генри участвовал в управлении и финансировании организации "Гиллель" - Фонда еврейской жизни на кампусах.

Имя Генри - английская форма германского имени Heimirich (позже Heinirich), состоящего из элементов heim - "дом" и ric - "власть". Фамилия Эверетт произошла от германского личного имени, состоящего из элементов eber - "кабан" и hard - "сильный, смелый".

Вне Нью-Йорка

Школа Эверетт в Хатцоре, Израиль.